Лекция № 3

Теория звука в ее классической форме строится на основе законов движения газов с учетом особенности колебательных движений с малой амплитудой.

Движение газов подчиняется законам аэродинамики. Уравнения в общей форме нелинейны и трудно поддаются решению. Поэтому делают ряд упрощающих предположений.

Аэродинамика идеального газа, лишенного вязкости, применяющая при решении задач, связанных с движением газов, в частности воздуха. Однако без учета вязкости невозможно вычислить сопротивление газа движению тела.

При скорости движения, меньших, чем скорости звука, можно пренебрегать сжимаемостью газов. Аэродинамика несжимаемого газа применима в известной степени. Кажущаяся несжимаемость газов является следствием того, что при скоростях меньших скорости звука, всякие изменения давления, вызванные движением тела, распространяются в форме звуковой волны и опережают движущееся тело. В пределах ограниченных размеров движущегося тела деформация газа остается неизменной, что эквивалентно несжимаемости.

При скоростях, приближающихся к скорости звука и больших, газы нельзя считать несжимаемыми и необходимо учитывать влияние теплопроводности при быстро протекающих процессах. Аэродинамика сжимаемого газа — газодинамика.

При строгом решении задачи о колебательных движениях в сплошны средах их необходимо считать сжимаемыми. При таких движениях в телах, имеющих достаточно большую протяженность, возникают волны, которые передают возникающие деформации и давление от места их возникновения во все стороны с конечной скоростью (скоростью звука).

Основные вопросы акустики разрешаются в предположении малых амплитуд колебаний, но с учетом сжимаемости среды.

Акустика — газодинамика малых амплитуд.

Большинство вопросов излучения и распространения звука решается при помощи волнового уравнения. Это уравнение получается из уравнения движения идеального газа и уравнения неразрывности среды и уравнения состояния.

 

Полная система уравнений акустики.

    1. Уравнение движения частиц под действием сил упругости среды.
    2. Основывается на втором законе Ньютона ( F = m·a).

      где x — координата ; ξ — ρмещение

      Звуковые волны распространяются в 3-х измерениях. Они являются продольными волнами. Молекулы воздуха движутся в направлении распространения волн, так что происходит чередование сжатий и разряжений. Восстанавливающей силой, необходимой для существования волнового движения, является сопротивление, которое газ оказывает сжатию.

      Плоские звуковые волны — волны, распространяющиеся в пространстве в одном направлении, области сжатия и разряжения, которых, располагаются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространению волн.

      Основные положения.

      Рассмотрим воздух в прямой трубе неизменимого поперечного сечения S.


      Когда звуковая волна распространяется по трубе плоскости х1 и х2 будут смещаться из положения равновесия взад и вперед по трубе х1 + ξ(υ1) и х2 + ξ(υ2). Каждая молекула газа, находящаяся первоначально на расстоянии х от начала переместится на расстояние ξ. έто смещение зависит от времени t и от положения молекулы х.

      ξ (x,t).

      Т.к. молекула участвует в тепловом движении (броуновское движение), то ξ (x,t) представляет собой среднее смещение ξ..

      Обозначим ρ0 и р0 плотность и давление газа в состояние равновесия. Действительная плотность в точке Х в момент времени t – ρ(x,t) .

      Относительное изменение плотности

      Тогда

      Разность между действительным давлением Р и равновесным давлением Р0 обозначим Р'(x,t). Именно этот избыток давления производит движение микрофонной диафрагмы .

      Р'(x , t) – звуковое давление

      P=P0 + P(x , t)

      Сила , действующая на элемент с одной стороны , возникающая в результате давления слоёв газа

      Разность между этими силами

      является полной силой , действующей на элемент газа , лежащей между плоскостями .

      Масса газа

      ,

      Ускорение

      - уравнение движения.

    3. Уравнение неразрывности.

При равновесии масса газа должна быть равна плотности , умноженной на объём . Когда плоскости смещаются под действием звуковой волны, масса газа должна оставаться постоянной, т.е.

Когда плоскости смещены , объём может измениться , т.к. смещение одной плоскости , а другой

Объём в результате смещения

Плотность газа должна изменяться так , что общая масса

Используя введённое обозначение δ и пренебрегая величинами второго порядка малости , считая S=const

- уравнение неразрывности .

Если плоскости в результате смещения раздвигаются , то плотность газа в данной точке уменьшается и наоборот .

 

III . Уравнение состояния .

Используются термодинамические свойства газов . Сжатие и расширение в звуковой волне происходят достаточно быстро , поэтому температура газа меняется при неизменной тепловой энергии –адиабатический процесс.

Он описывается следующим уравнением

Сp , Cv- теплоёмкости при P=const и V=const .

Подставляя значение объёма элемента газа , полученное раннее

или ; - для воздуха

или с учётом закона неразрывности - уравнение состояния .

 

Волновое уравнение .

Комбинируя уравнение I , II , III , получим

Для скорости звука в идеальном газе

Для воздуха при температуре Т=00С

Атмосферное давление

Р0=10.23 Па (10.13- 10.16)

В общем случае Р0 и ρ0 есть функции температуры.

Тогда

, где t – температура , град С.

Для воздуха С≈331.3+1.21∙t , м с .

Потенциал колебательной скорости.



Можно показать [1,стр.153-162] , что колебательная скорость , в общем случае

представляющая собой векторное поле , имеет потенциальный характер (rotξ=0).

Интеграл вида

называют потенциалом скорости .

Все функции , описывающие звуковое поле ρ , P , ξ , T ρвязаны с потенциалом скорости соотношениями

βs – адиабатическая сжимаемость

α ч –коэффициент объёмного расширения

x k=x , y , z

Используя функцию потенциала вместо трёх (шести) уравнений можно записать одно

-

-волновое уравнение для потенциала скорости .