2. Математическое моделирование в современной биомедицине и
экологии
2.1. Теоретические исследования в области биологии и физиологии
человека.
В биологии и физиологии человека выделяют три основных
направления, в которых применяют математические методы исследования:
· физиологические
исследования,
в
частности
моделирование
физиологических ритмов;
· анализ биосистем;
·генетические исследования, в частности, память генома, обмен
информацией биосистем на молекулярном уровне.
С точки зрения физико-математической интерпретации биосистем,
как объекта исследования, выделяют два подхода: полевой и
физиологический.
Физиологический подход дает более точную на сегодняшний день
картину, используя аппарат прикладных технических дисциплин: теории
автоматического регулирования, систем автоматического управления, теории
управления и др.
Суть оформившегося в последнее время полевого подхода состоит в
следующем. Любой объект исследования - в живом или неживом мире -
характеризуется геометрической формой, топологией и рабочими
физическими полями. При этом обобщенная форма-топология Ф является
либо неизменной в течение длительного периода времени Ф =
t 0 , и тогда
говорят о ее постоянстве, либо изменяющейся, причем таким образом, что
Ф
П

t
t , где П - основная (обобщенная) характеристика физического
поля в объекте. В последнем случае форма-топология объекта при
исследовании квантуется (дискретизируется) во времени протекания
процесса.
При исследовании объектов наиболее часто решается одна из двух
задач: прямая - многовариантный анализ, и обратная - параметрический
синтез. В первом случае рассчитываются характеристики Х объекта при
различных пробных или непрерывных изменениях формы-топологии и поля:
X =




dt ;
dt;Ф ; П ,
0
0
где Ф0, П0 - отсчетные или начальные форма-топология и поле.
При параметрическом синтезе решается задача нахождения формы-
топологии и функции П(Ф) при изменении Х:
Ф, (
П Ф) = =-
1(dX ; ( )
dt П Х ; Х ;Ф ;П .
0
0
0 )
При техническом проектировании объекта, как правило, задача
синтеза является трудоемкой и заменяется комбинированной задачей
просчета значений характеристики Х для реального диапазона изменения Ф и

П с последующей оптимизацией найденной целевой функции и
определением Фопт и П(Фопт).
Геометрические (топологические) характеристики и характеристики
физического поля функционально взаимосвязаны, причем неучет одной из
этих характеристик или использование достаточно грубой аппроксимации
(обычно аппроксимируют геометрические характеристики) приводит к
резкому снижению точности расчета. Физико-топологическое моделирование
предшествует этапу математического моделирования. Таким образом,
математическая
модель
формируется
как
формульное
описание
топологических и физических характеристик в их взаимосвязи,
подготовленное к аналитическому и/или численному решению с получением
числовых результатов.
В решении полевых задач для биообъектов, в особенности - высших
организмов, основную сложность составляют нелинейность волновых
процессов передачи биоинформационных (управляющих) сигналов,
многослойность и топологическая многосвязность биоткани, сложный и
быстротекущий характер динамических процессов. Необходимо представить
описание процессов и связей в тонкой полевой структуре биообъекта таким
образом, чтобы не скрыть сущность явлений за математической абстракцией
понятий. Далее, любые поля можно разделить на вихревые и потенциальные.
Первые характеризуют процессы в объекте, отличающиеся динамизмом,
выраженной нелинейностью, сложной соподчиненностью с функциями
объекта. Потенциальные поля (электрическое поле тока, электро- и
магнитостатическое, тепловое стационарное, гравитационное, поле потока
жидкости - биоткани, поле упругости и др.) играют достаточно значимую
роль в процессах внутриобъектного биоэнегоинформационного обмена, в
лечебном воздействии. Кроме того, любое потенциальное поле в своей
природе после своего формирования стремится к устойчивому состоянию,
стабильным энергетическим характеристикам, что выражается в упрощении
геометрии линий поля - спрямлении линий равного потенциала и силовых
линий. В эволюционной биологии имеется масса примеров когда реализуется
эта тенденция потенциальных полей: в системе кровообращения, органах
дыхания и интегральных физиологических характеристиках биообъектов.

2.2. Принципы математического моделирования органов и систем
человека.

Объектами исследований являются: физиологические ритмы,
биосистемы, биотехнические системы, защита физиологических функций
организма от внешних воздействий, взаимодействие физиологических систем
с внешней средой и др. Относительно самостоятельная отрасль исследований
- физико-математическое моделирование функционирования наиболее
жизненно важных органов и систем, например, сердечно-сосудистой
системы, органов дыхания и др.

Теория физиологических ритмов базируется на общей теории
синхронизации автоколебаний и автоволн в динамических системах,
использует математический аппарат описания волновых процессов в
активных средах. Аналитический аппарат использует обыкновенные
дифференциальные и разностные уравнения. При моделировании
используются понятия из теории колебаний: стационарные состояния,
предельные циклы, фазовая плоскость, хаос, шум, мягкий и жесткий режимы
автогенерации, волновые процессы в возбудимых средах, фазовые сдвиги и
др. таким образом аппарат нелинейной динамики прилагается к физиологии.
Т.к. физиологические ритмы составляют основу любого жизненного цикла,
то биологическая ритмологий вписывается в всеобщую теорию циклов.
Экспериментально установлена зависимость характеристик индивидуальных
биообъектов, популяций и сообществ не только от жизненного и/или
эволюционного времени, но и от значений совокупных внешних и
внутренних факторов - полициклические процессы. На их фоне можно
выделить группы одинаковых по величине циклов - периодов. Поэтому
говорят о существовании общебиологического периодического закона (по
аналогии с законом периодических элементов Д.И. Меделеева), компонентом
которого является экологический периодический закон:
Средние значения различных характеристик индивидуумов,
популяций и сообществ (log y) находятся в функциональной
периодической зависимости (fp) от значений различных
факторов (xi), включая факторы внешней среды, собственные
(внутренние) для биосистемы факторы и и фактор
физического времени (log (
y x ) = f (x ) , которые действуют на
i
p
i )
данную
биосистему
совместно
и
через
посредство
периодических
зависимостей
определяют
значения
характеристик показателей популяций и сообществ (log yjt ) в
данном месте (j) и в данное время (t), как среднее
арифметическое оо результата действия каждого фактора из
всех (n) важнейших учитываемых:
n
1
log y = log (
y x .
jt
ijt )
n i=1
Т.е. физиологические ритмы - это опосредованные через структурную
организацию биообъекта более общие ритмы, циклы и периоды,
характерные для химических, биологических и физических процессов,
совокупность действия которых регулирует процессы метаболизма,
гомеостаза, физиологического цикла в целом.
Классическим походом к началу изучения физиологических ритмов
является исследование процессов гомеостаза, т.е. относительного
постоянства внутренней среды организма, его физиологических констант. От
гомеостаза можно сделать переход к математической модели биологических
осцилляторов - основному виду модели генерации физиологических ритмов -

релаксационная модель. Она описывается методами теории колебаний и
автогенерации. Второй способ - моделирование пространственных
колебаний, которая дает представление о пространственной организации в
биоткани. И, наконец, с физиологическим и ритмами связаны так
называемые динамические болезни.
Математические модели для временной оценки поведения
физиологических систем записываются в виде дифференциальных
уравнений
dx = f ( )x, (1)
dt
дающих экспоненциальное решение: экспоненциальный рост и спад: 1-е-t
при <0 и е-t при >0, соответственно.
Однако, такое аналитическое решение невозможно для нелинейных
дифференциальных уравнений, описывающих реальные биологические
системы. Их численное решение обычно дает приближение не выше 1-го
порядка. При этом стационарное состояние физиологической системы
отражается решение уравнения (1) при f(x)=0.
Для описания биологических автоколебаний, восстанавливающихся
(к стационарным) после возмущения колебательной физиологической
системы, используются колебания в форме устойчивых предельных циклов
(дифференциальные уравнения с двумя переменными - решения Пуанкаре).
Здесь используются понятия предельного цикла и фазовой плоскости, т.е.
присутствует локальная и структурная устойчивость. Далее следует хаос, т.е.
состояние системы, характеризующееся следующими особенностями: 1) для
определнных значений параметров большинство начальных условий
приводят к апериодичности; 2) динамика системы значительно расходится
для максимально близких друг к другу условий. Это явление можно
сравнить с физической цепной реакцией. Математически хаос (графики
процессов
которого
имеют
колоколообразный
вид)
описывается
квадратичными функциями и дифференциальными уравнениями Лоренца.
Модели генерации физиологических ритмов подразделяются на
пейсмекерные и центрального типа. Обе модели используют отрицательную
обратную связь.
Пейсмекерные колебания могут задаваться одиночной или
резонансно-связанной группой клеток. Следствием воздействия пейсмекеров
является сердечная ритмика, колебательные процессы мышц, нейронов,
гормональных систем и др. Наиболее адекватные пейсмекерные модели
использую нелинейные дифференциальные уравнения при точном учете
большой группы начальных условий. Пример: модель Ходжкина-Хаксли.
В моделях центрального типа исследуется ритм, задаваемый
центральной нервной системой и поддерживаемый в организме вне
зависимости
к
иным
возбуждениям
(сенсорным,
рефлекторно-
периферическим). Они используют два основных механизма: взаимное и
последовательное ингибирование (торможение, угнетание активности).

Конкретный вид модели определяется типом базового ингибирования и
учетом отрицательной обратной связи. Математически эти модели
основываются на бифуркационных уравнениях. Пример: модель для дыхания
Чейна-Стокса.
Исследование условий возникновения и исчезновения биоритмов на
математических
моделях
использует
теорию
колебаний,
теорию
устойчивости, радиотехнику, отсюда понятия: автогенерация, медленные
колебания, подпороговые колебания, мягкое и жесткое возбуждение.
Моделирование
возмущения
биологических
осцилляторов
одиночным стимулом - дыхательных и сердечных ритмов - использует в
основе
релаксационные
модели
описания
фазовых
сдвигов
в
автоколебательных системах. Аналогично для периодической стимуляции
биологических осцилляторов: захват частоты и фазы в генераторе - в
биопроцессе: захват частоты и фазы спонтанного ритма стимулирующим
воздействием. Примеры: воздействие на сердечный ритм, захват фазы
дыхательного ритма. используется математический аппарат вынужденных
нелинейных колебаний Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка. Базовым является
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
с
гармоническим
вынуждающим членом:
d 2u
2
- 1 -
+ = cos
.
2
(
du
u )
u B
(vt)
dt
dt
С использованием этой модели в физиологии человека моделируются
дыхательная синусовая аритмия, эктотические пейсмекеры сердца, связь
между дыханием и принудительной вентиляцией, аритмия сна и др.
Биологические системы являются трехмерными по своей структуре.
Это также должно учитываться в их физико-математических моделях,
особенно для органов, у которых все три размера одинакового порядка: кора
головного мозга, сердце, печень и др. Изучением распространения
трехмерных волн в биоткани занимались Гэрри, Винер, Розенблют и др.
Медико-биологическое применение подобных исследований связано в
основном с сердечной деятельностью, вернее с ее нарушениями -
брадикардия и тахикардия, в общем случае - фибрилляция.