УДК 621.38-022.532
КАЗАРЯН Э.М., ПЕТРОСЯН Л.С.

САРКИСЯН А.А.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В
КВАНТОВОМ РИНГЕ С ОГРАНИЧИВАЮЩИМ
ПОТЕНЦИАЛОМ ВИНТЕРНИЦА-СМОРОДИНСКОГО
Российско-Армянский (Славянский) государственный университет,
г. Ереван, ул. О. Эмина 123, тел. +3741 265 597, факс +3741 229 244
shayk@ysu.am
Одной из наиболее интересных наноструктур, реализованных
сравнительно недавно (см. например [1]), являются кольцеобразные
системы называемые в научной литературе квантовыми рингами (КР)
(quantum ring). Ограничивающий потенциал такой системы имеет
форму представленную на рис.1. В качестве математической модели,
описывающей потенциал ограничения КР, авторы [2] предложили рас-
сматривать двумерную осцилляторную функцию со смещенным цен-
тром. В указанной работе обсуждались электронные состояния в КР
при наличии внешнего однородного магнитного поля. Авторы по-
строили графические зависимости энергии электрона от величины
магнитного поля, для различных значений параметров ограничиваю-
щего потенциала КР. Следует отметить, что задача решалась посредст-
вом численного интегрирования уравнения Шредингера, что затрудня-
ло проведение детального анализа зависимостей энергии электрона от
различных параметров структуры и магнитного поля. Надо отметить
также, что функция смещенного осциллятора предполагает симметрию
кривой ограничения относительно вершины
параболы, а такая ситуация не всегда может
реализовываться. В связи с этим желательно
аппроксимировать ограничивающий потенциал
КР функцией позволяющей аналитическое ре-
шение уравнения Шредингера (в том числе и
при наличии магнитного поля), и в определен-
Рис. 1.
ной степени устраняющей выше указанные
трудности.
В представленной работе рассмотрены электронные состояния в
КР при наличии аксиального внешнего магнитного поля. Ограничи-
вающий потенциал КР аппроксимирован (семейство двумерных по-
тенциалов вида
2
V () = f () + g() / называют также потенциалами
Винтерница-Смородинского [3]) следующей функцией

2

V
() = +
- 2 (1)
conf
2


где и - некоторые параметры характеризующие КР. Хотя потен-
циал (1) при малых значениях стремится к бесконечности (при этом
одночастичное уравнение Шредингера с таким потенциалом, несмотря
на эту сингулярность, имеет конечное решение), однако отсутствие
выколотой части не будет оказывать существенного влияния на срав-
нительно низко расположенные электронные уровни.
Рассматривая движение электрона чисто двумерным, и выбирая
калибровку магнитного поля в виде { A = H / 2, A = A = 0

} в по-
z

лярных координатах получим следующее уравнение Шредингера
2
2
2
1

1
i

h
h H
H

-


+


-
+
+
2
2



2


8





2


+
= (E + 2 ) , (2)

2



где = ( e H / c - циклотронная частота. Уравнение (2) является
H
)
точно решаемым, что позволяет дать аналитическое выражение для
энергетического спектра электрона

M +1 m

E
=
h
n +
+ - 2
n ,m
H




, (3)
H


2
2
где
n , m - радиальное
и
магнитное
квантовые
числа,

2
= + 8 / , 2
2
M = m + 2 /
.
H
h2
Выражение (3) позволяет представить зависимости энергии
электрона от величины магнитного поля при различных значениях
параметров и . Эти зависимости приведены на рис. 2а, 2б в без-
размерных единицах N = 4E
h
, t = E
2
2
, где E =
2a ,
H
a
a
a
h
4
a =
= / . Сразу отметим, что при малых значениях N (слабое
min
поле) получается выражения для двумерного ротатора с соответст-
вуюшим сдвигом обусловленным наличием радиального движения.
При этом как следует из рис. 2а с уменшением N уровни m , -m сли-
ваются и возникает присущее двумерному ротатору двухкратное вы-
рожение по магнитному квантовуму числу. С увеличением N зависи-
мость E от N приближается к линейной, переходя в пределе в
формулу описывающую уровни Ландау. На рис. 2а представленные
кривые соответствуют следующим значениям параметров системы:
t = 3 , n = 0; 4 ,

- -

m = 0; 2; 4; 6 . Отметим что уровни с m = -2, 4, 6

сперва опускаются, а потом поднимаются, в то время, как уровни с
m = 2, 4, 6 сразу начинают расти с ростом N .


E/E
E/E
a
a
25
40
20
n =4{
n=3
30

15


n=2

20
10
n=1
n =0
10
5
{

n=0
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
N
t
а) б)
Рис.2
На рис. 2б представлены зависимости энергии электрона от ха-
рактеристического параметра ямы t при
N = 10; n = 0,1, 2,3;


m = -3, 2
- ,...,3 . Как следует из этого рисунка, при малых t (слабое
влияние стенок) уровни с одинаковыми n = (2n + m + m

) 2 (напри-
мер
({n = 0,m = 2
=
=
=
= - -

),(n 1,m

)1,(n 2,m 0; 1; 2

)}) сливаются,
т.к. возникает вырождение присущее уровням Ландау. При этом уров-
ни становятся эквидистантными. С увеличением t вырождение снима-
ется и уровни, благодаря усилению роли размерного квантования,
монотонно поднимаются.
Работа выполнена в рамках национальной программы "Полу-
проводниковая наноэлектроника".

1. A.Lorke et. al, Phys. Rev. Lett. 84, 2223 (2000).
2. T. Chakraborty, P. Pietilainen, Phys. Rev. B 50, 8460 (1994).
3. П. Винтернитц и др. Ядерная Физика 4, 625 (1966).







Document Outline