УДК 530.145
БОГДАНОВ А.Ю., БОГДАНОВ Ю.И., ВАЛИЕВ К.А.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАПУТАННОСТИ КВАНТОВЫХ
ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Физико-технологический институт РАН,
тел. (495)129-6366, e-mail: bogdan@ftian.oivta.ru
Одним из основных понятий квантовой информатики является
запутанность (entanglement), служащая важным ресурсом для кванто-
вых вычислений и квантовой криптографии. Учет запутанности между
различными степенями свободы квантовых битов (кубитов) и их ок-
ружением играет важную роль в задачах обеспечения качества кванто-
вых информационных систем [1].
В настоящей работе построена и исследована явная многочас-
тичная квантовая модель, в которой запутанность возникает благодаря
связи частиц с единым посредником (например, перегородкой или
стенкой). Предложенная модель позволяет вскрыть природу и меха-
низм возникновения равновесных квантовых распределений. Показа-
но, что в рассматриваемой системе состояния теплового равновесия
возникают автоматически при измерении запутанного вакуумного со-
стояния. Возникающая в системе температура определяется отноше-
нием массы системы частиц к массе связанной с ними перегородки.
Такого рода процесс (если он является неконтролируемым) приводит к
декогерентизации состояния квантового информационного регистра и,
как следствие, к снижению качества квантовой информационной сис-
темы.
Математический инструмент, используемый для исследования
запутанности, основан на разложении Шмидта для вектора состояния:
(1)
(2)

= ,
k
k
k
k
где - весовые множители, удовлетворяющие условию нормировки
k
=1.
k
k
(1)
(2)
Функции (векторы)
и
называются модами Шмид-
k
k
та. Число весовых множителей в разложении и соответственно
k
число мод Шмидта может быть как конечным, так и бесконечным. Ос-
новная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта
есть число Шмидта K , которое характеризует эффективное число мод
в разложении:


K = 1 2
/
.
k
k
По своему определению, в силу условия нормировки для ,
k
число K заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том
случае, когда в разложении Шмидта имеется единственное ненулевое
слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором
состояния, число K лежит в интервале 1 ≤ K s , где s - размер-
ность гильбертова пространства квантовой системы.
Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат
для исследования запутанности квантовых систем ЭПР (Эйнштейна-
Подольского- Розена) типа. Например, регистрация подсистемы 1
наблюдателем
(1)
A (Алисой) в состоянии
означает, что подсис-
k
тема 2 с необходимостью будет зарегистрирована наблюдателем
B
(2)
(Бобом) в состоянии
k
k
(при том же самом ).
В настоящей работе предложены и исследованы r +1 - частич-
ные состояния, имеющие следующую структуру:

(x ,.., x
=
1
r
r 1
c

x ...
x
x

1
r +1 )
( )
n ,...,n n ( 1) ( )n( r ) ( + )
n +...+ n ( r +1 )
1
r
1
r
1
r
n ,..., n =0
1
r
Указанные состояния являются состояниями ЭПР- типа. При
этом, одна из частиц ( r +1 - ая) является выделенной. Результаты из-
мерения r частиц позволяют однозначно предсказать состояние
r +1 - ой частицы (номер ее состояния равен сумме номеров состоя-
ний остальных частиц). Если же неизмеренной оказывается не r +1 -
ая, а какая- либо другая частица, то для определения ее состояния
нужно из номера состояния r +1- ой частицы вычесть сумму номеров
состояний всех остальных частиц. В частном случае, когда мы измеря-
ем только выделенную ( r +1-ую) частицу и она оказывается в основ-
ном состоянии, то, не проводя дальнейших измерений, можно сделать
вывод, что и все остальные частицы будут находиться в основном со-
стоянии.
Введем r действительных параметров f , f ,..., f . Тогда, ка-
1
2
r
ждой
точке
внутри
гипершара
единичного
радиуса
( 2
2
f + f + ...
2
+ f < 1) можно сопоставить некоторое квантовое
1
2
r
состояние рассматриваемого вида. Пусть
2
2
2
2
f = f + f + ... + f -
1
2
r

квадрат длины вектора параметров. Тогда коэффициенты разложения
будут:
n + n + + n
1
n
2
n
nr
r
c
= f
f
f
- f

n ,n ...n
( 1) ( ) (
... r )
(1 2
2
)(
...
)!
1
2
1
2
r
n !n !...n !
1
2
r
Предполагается, что базисные функции являются функциями
осцилляторного типа. Рассматриваемые состояния могут быть реали-
зованы физически в рамках системы связанных осцилляторов, схема-
тично показанной на рисунке.

k, m - жесткость и масса
осцилляторов
с
номерами
j = ,
1 2,..., r ;
, M - жесткость и масса
r + 1- го осциллятора
m0 - масса перегородки

Рис. Система осцилляторов, связь между которыми обеспечивается пере-
городкой

В работе показано, что существуют только два нормальных ко-
лебания, в которые вовлечена r + 1-ая частица. Эти колебания при
квантовом рассмотрении системы описывают запутывание r - частич-
ной системы с r + 1 - частицей (измерителем). Основному (вакуум-
ному) квантовому состоянию соответствуют базисные наборы Шмид-
та, описанные выше. При измерении вакуумного состояния в базисе
Шмидта автоматически возникают распределения статистической фи-
зики (в частности, состояния теплового равновесия Бозе- Эйнштейна и
распределение Планка). Таким образом, измерение находящейся при
нулевой абсолютной температуре системы приводит к ее эффективно-
му нагреву до температуры, определяемой отношением массы системы
к массе перегородки.

1. Богданов А.Ю., Богданов Ю.И., Валиев К.А. Анализ мод Шмидта и
запутанности в квантовых системах с непрерывными переменными
// Микроэлектроника. 2006. Т.35. 1. С.11-30



Document Outline