УДК 530.145
БОГДАНОВ Ю.И., БОГДАНОВА Н.А.
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТОМОГРАФИИ В ЗАДАЧАХ
ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
Физико-технологический институт РАН,
Московский институт электронной техники
тел. (495)129-6366, e-mail: bogdan@ftian.oivta.ru
Квантовая информатика представляет собой новую, быстро раз-
вивающуюся область науки и технологии, основанную на использова-
нии квантовых состояний для реализации принципиально новых мето-
дов передачи сообщений и вычислений (квантовые каналы связи,
квантовая криптография, квантовый компьютер) [1].
Среди возможных методов восстановления квантовых состоя-
ний наибольшее значение имеют методы, позволяющие получить точ-
ность оценивания, близкую к принципиально достижимой в задачах
высокой размерности. Построение таких оценок на базе традиционных
методов математической статистики наталкивается на трудности вы-
числительного характера, которые быстро становятся непреодолимы-
ми по мере роста размерности задачи. Выделенной универсальной ста-
тистической моделью, допускающей устойчивое асимптотически
эффективное восстановление параметров по наблюдениям, оказывает-
ся так называемая корневая модель, в которой структура статистиче-
ской теории оказывается согласованной изначально со структурой ве-
роятности в квантовой механике [2].
Приложение корневого подхода к задачам квантовой томогра-
фии и квантовой криптографии позволило в рамках совместных работ,
проведенных ФТИАН и МГУ [3,4], экспериментально доказать воз-
можность восстановления квантовых состояний с точностью, сущест-
венно превосходящей точность, достигнутую в работах других авто-
ров.
В настоящей работе исследованы два различных набора базис-
ных функций, основанные соответственно на полиномах Кравчука и
Шарлье. Полученные результаты позволяют обобщить две основные
модели дискретных распределений математической статистики, осно-
ванные, соответственно, на биномиальном распределении и распреде-
лении Пуассона. При корневом подходе эти распределения выступают
в качестве нулевых приближений при восстановлении дискретных
распределений общего вида.
Базисный ортонормированный набор функций на основе поли-
номов Кравчука позволяет описывать многопараметрические распре-
деления биномиального типа. Соответствующие дискретные распреде-
ление заданы в точках x = 0,1, 2,..., N . По аналогии с обычным
биномиальным распределением можно сказать, что случайная величи-

на x есть число успехов в серии из N испытаний. В нулевом
приближении рассматриваемое распределение есть обычное биноми-
альное распределение. Базисные функции задаются формулой:
1/ 2
x N -x

-

( x)
k !(N k )! p q
p
=
K x
k =
N
k


( pq)k
x (N - x)
k (
), 0,1,2,...,
!
!
Здесь p - параметр, отвечающий средней вероятности успеха,
q = 1- p
p
, K
x
k (
)- полином Кравчука k - го порядка, отвечающий
заданному p .
Базисный ортонормированный набор функций на основе поли-
номов Шарлье позволяет моделировать многопараметрические рас-
пределения пуассоновского типа. Соответствующие распределения
заданы в неотрицательных целых точках x = 0,1, 2,... . В нулевом
приближении рассматриваемое распределение есть обычное пуассо-
новское распределение. Базисные функции имеют вид:
1/ 2
k + x
e-



x =
C x
k =
k (
)

k (
), 0,1,2,...
k !x!
Здесь - параметр, отвечающий среднему числу успехов (среднему

значению случайной величины x ), C
x
k
k (
) - полином Шарлье -
го порядка, отвечающий заданному .
Для иллюстрации, на рисунке приведен пример восстановления
статистического распределения с использованием описанного выше
метода. Видно очень близкое соответствие (практическое совпадение)
между теоретическими распределениями (сплошные линии) и корне-
выми оценками (точки). Для сопоставления на том же рисунки приве-
дены результаты, которые могут быть получены с использованием
традиционных методов. Точность последних, как это видно из рисун-
ка, невелика.
Проведенные исследования показали также существенное пре-
имущество описываемого здесь корневого подхода к восстановлению
статистических распределений по сравнению с ядерными оценками
Розенблатта- Парзена и проекционными оценками Ченцова.



Рис. Восстановление распределения, представляющего
собой смесь в пропорции 2:1 биномиальных распределений с
параметрами p = 0.45 и p = 0.55 соответственно. Объем вы-
1
2
борки 300. Сплошная линия- теоретическое распределение ве-
роятностей, точки- корневая оценка с использованием базиса на
основе полиномов Кравчука, звездочки- биномиальная оценка,
штриховая линия- частотная оценка.

1. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: Надежды и реаль-
ность. 2-е изд., испр. М.-Ижевск: НИЦ РХД, 2002. 320 с
2. Богданов Ю.И. Многопараметрические статистические модели в
задачах квантовой информатики //Труды ФТИАН. 2005. Т.18. С.91-
118; Богданов Ю.И. Основная задача статистического анализа дан-
ных: Корневой подход. М.: МИЭТ, 2002. 96с. Пер. на англ.:
Bogdanov Yu. I. Fundamental problem of statistical data analysis: Root
approach. M.: MIEE, 2002. 84 p.; Bogdanov Yu. I. Statistical inverse
problem // LANL E-print, 2002, arXiv: phys/0211109. 39p.
3. Bogdanov Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P. et al. Statistical reconstruc-
tion of qutrits // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. 042303. 16 p.
4. Bogdanov Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P. et al. Qutrit state engineer-
ing with biphotons // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. 230503. 4p.


Document Outline