УДК 621.38-022.532
ПЕТРОСЯН С.Г., МКРТЧЯН К.С.,

ЗАТИКЯН А.Л.
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА
В ГАНТЕЛЕОБРАЗНОЙ КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ ВРАЩЕНИЯ
Российко-Армянский (Славянский) госудраственный университет,
г. Ереван, ул. О. Эмина 123, тел. +3741 265 597, факс +3741 229 244
spetrosyan@rau.am
Энергии и волновые функции электронных состояний в полу-
проводниковой квантовой точке (КТ) зависят не только от ee размеров,
но и от геометрической формы [1]. В зависимости от технологических
методов роста, квантовые точки могут иметь разнообразные формы
(кубические, сферические, пирамидальные, эллипсоидальные и т.д.).
Особое место занимают КТ вращения, которые обладают цилиндриче-
ской симметрией и во многих случаях позволяют моделировать свой-
ства КТ сложной формы [2]. В данной работе мы представляем резуль-
таты исследования гантелеобразной квантовой точки (ГКТ) вращения.
Для этой цели предложена новая методика решения уравнения Шре-
дингера, что позволяет с большой точностью проследить за изменени-
ем энергии и волновой фунции при деформации квантовой точки в
широких пределах. Найдено изменение величины энергии основного
состояния электронов в широкой области изменения параметров кван-
товой точки, когда ее форма меняется от сферы радиусом a до формы
гантели.
Поверхность ГКТ задается вращением вокруг оси z функции

R z = - b

(
- ( 2 2
z a )
2
2
( )
1
exp
a - z

, (1)

зависящей от двух параметров и b . В зависимости от численных
значений этих параметров форму КТ можно варьировать в широких
пределах. Например, при b = 0 имеем сферу с радиусом a , при
= 0, b 0 получается эллипсоид вращения с полуосями a(1- b) и
a . А при b = 1 КТ распадается на две несвязанные шарообразные КТ.
Волновые функций = (,, z) связанных состояний элек-
трона в ГКТ с непроницаемыми стенками в цилиндрических коорди-
натах можно представить в виде,


G (z)

(,, z)
mj
im
= J

e , (2)
m
m
mj
j 1
=

R(z) R(z)

где J ( R(z)) - функция Бесселя первого рода порядка m , -
m
mj
mj
нули фунции, а m = 0,1, 2,3... - магнитное квантовое число. Такой вы-
бор (,, z) позволяет удовлетворить граничное условие
m
( = R (z),, z) = 0 .
После подстановки волновой функции основного состояния (2)
в уравнение Шредингера в цилиндрических координатах и "усредне-
ния" по , окончательно для неизвестных функций G (z) получаем
0k
следующую систему связанных уравнений:
2
d G

0k

+ E -V (z) G + W (z)G = 0 , (3)
2
[
k
] 0k
jk
0 j
dz
j 1
=
j k
где
V (z) = ( R (z) + + B
R z R z ) , (4)
k
) (1
)
kk (
2
2
2
( )
( )
k
0
d
W z = A (R z R z )
- ( A + B )(R z R z )2
( )
2
( )
( )
3
( )
( ) + A ( R(z) R(z) (5)
jk
jk
jk
jk
jk
)
dz
1
2
2
1
2

0 j
2
A =
x J ( x)J ( x)dx
0 j
3
; B =
x J ( x)J (
)
jk


x dx (6)
2
0
0k
1
0
J ( )
j
jk
2
0
0k
0
0
J ( )
j
1
0k
0
1
0k
0
Входящие в (3) энергия и длины выражены в безразмерных еди-
ницах: E E ( 2
2
2ma
h
), a,z z a,R(z) R(z) a .
Точное решение системы уравнений (3) представляется труд-
ным, однако аналогичная сделанной в работе [3] оценка поправки вто-
рого приближения к собственному значению энергии основного со-
стояния (k = 1) обусловленная интерфереционным членом с W (z) не
jk
превышает пяти процентов в случае изменения параметров и b
пределах 0 ≤ b ≤ 0.9 , 0 ≤ ≤ 1.5 . Таким образом в (3) членом с W (z)
jk
можно пренебречь и система уравнений сводится к независимым урав-
нениям, записанным для каждой функции G (z) , которые описывают
0k
одномерное движение электрона вдоль оси z с некоторым эффектив-
ном потенциалом V (z) , возникающем из-за изменения вдоль z попе-
k
речного сечения КТ. Из-за сложного вида V (z) точное аналитическое
k
решение (3) невозможно, и поэтому мы проводим его численное ин-
тегрирование.
На рис.2 представлена зависимость энергии основного состоя-
ния от параметра b при различных значениях . Видно, что с ростом
b , деформация сферы увеличивается и по сути дела мы переходим к
сильно сплюснутому эллипсоиду, область локализации электрона

уменьшается и энергия основного состояния соответственно возраста-
ет.
Энергия состояния чувствительна также к форме КТ, которую
при заданном b можно менять с помощью параметра . С ростом
форма КТ меняется от эллипсоида вращения ( = 0 ) до формы ганте-
ли. Энергия же состояния при этом будет уменьшается. Сравнение с
частными случаями (сферическая ( b = 0 ) [4] и эллипсоидальная
( = 0 ) [5] КТ) свидетельствует в пользу большой точности предло-
женного метода.
Изменение параметров и b существенно сказывается не
только на сдвиг уровней энергии, но и на вероятность нахождения
электрона в различных участках КТ. Исследования показывают, что
при достаточно узком "горле" ГКТ распадается на две слабо связанные
КТ.

Таким образом, можно заключить, что предложенная в данной
работе методика позволяет с большой точностью найти энергию ос-
новного состояния в ГКТ вращения и проследить за ее сдвигом при
изменении формы КТ. Результаты этой работы могут быть использо-
ваны при исследовании осцилляции электрона в двойных КТ.
Работа выполнена в рамках целевой научной программы РА
"Полупроводниковая наноэлектроника".

1. D. Bimberg, M. Grundman, N. Ledentsov, Quantum Dot Heterostruc-
tures, John Wiley and Sons, 1999.
2. G.G. Zegrya, O.V. Konstantinov, A.V. Matveentsev, Semiconductors,
v.37, p.317, 2003.

3. F. Buonocore, D. Ninno, and G. Iadonisi, Theoretical calculations of
shallow impurity states in deformed quantum wires with an application
to porous silicon, Phys. Rev. B, v.62, n.16, p.10914, 2000.
4. З. Флюгге, Задачи по квантовой механике, том 1, изд. Мир, Москва,
1974.
5. G. Gantele, D. Ninno, G. Iadonisi, Confined states in ellipsoidal quantum
dots, J.Phys.: Condens. Matter 12 (2000) 9019-9036.


Document Outline