УДК 621.382 : 539.3




БАРДУШКИН В.В.

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ

Московский институт электронной техники (технический университет),
124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5,
тел. (095) 532-99-39, e-mail: bardushkin@mail.ru.

Матричные композиты широко применяются в качестве
электроизоляционных и вспомогательных материалов в микроэлектронике
(корпуса интегральных микросхем) и функциональной электронике (в
пьезотехнике). Матрица и включения подобных композитов состоят, как
правило, из материалов, имеющих существенно различные физико-
механические характеристики. Одним из актуальных вопросов
проектирования неоднородных материалов является исследование
локальных напряжений при внешних воздействиях различного вида.
Однако не меньший интерес представляет и обратная задача - нахождение
результирующего влияния (напряжений на границах макрообъема
материала)
от
значений
локальных
напряжений,
вызванных
температурными изменениями объемов элементов неоднородностей
(включений). Анализу именно этой проблемы посвящена данная работа.
Для композиционных материалов тензоры напряжений и модулей
упругости c являются случайными функциями координат и могут быть
представлены в виде суммы средних значений и флуктуаций
(r) = < (r) > + (r) , c(r) = < c(r) > + c (r) .
В рамках линейной теории флуктуации линейно зависят от средних
значений
(r) = P(r) < (r) > .
Тензор P(r) является в общем случае интегральным оператором,
описывающим взаимодействие между включениями. Угловые скобки в
выражениях определяют усреднение по ансамблю, которое для
статистически однородных композитов, т.е. при выполнении гипотезы
эргодичности, совпадает с усреднением по объему [1, 2]. Для матричного
композита, содержащего изотропные включения и матрицу, она сводится
(для некоторой случайной величины
a(r) ) к суммированию
< a(r) > = v a + v a , где v +
=
i i
m m
1
i
vm
, индекс i относится к включению, а
m - к матрице. Тогда связь между локальными и средними
напряжениями в материале может быть представлена в виде

(r) = (I + P(r))< (r) > ,
где I - единичный симметричный тензор четвертого ранга. Значит,
локальные
напряжения
можно
охарактеризовать
безразмерным
оператором концентраций напряжений (тензор четвертого ранга),
представляющим собой отношение локального к среднему значениям
K (r) = I + P(r) .
Удобство такого представления заключается в том, что при данных
предположениях оператор концентраций напряжений должен зависеть
только от материальных параметров среды и микроструктуры материала, а
не от прикладываемых нагрузок.
Для приближений, учитывающих взаимодействие включений,
оператор концентраций напряжений можно получить, решая систему
стохастических
дифференциальных
уравнений
второго
порядка
(уравнений равновесия) [1,2]
L (r)u (r) = - f (r)
ij
j
i
,
где L (r) = c (r
)
- дифференциальный оператор, а f (r) и u (r) -
ij
k ijkl
l
i
i
компоненты вектора объемных сил и вектора смещения. Используя метод
функций Грина, с помощью обобщенного сингулярного приближения
теории случайных полей и специально вводимого однородного тела
сравнения получается выражение для оператора концентраций
напряжений

1
-
-1
1
K (r) = c(r (
) I - c
g (
r)) < c(r (
) I - c
g (
r))
-
> ,
где двойным штрихом обозначена разность между величинами
неоднородной среды и тела сравнения, а тензор g - сингулярная
составляющая тензора Грина уравнений равновесия. Физический смысл
такого приближения заключается в предположении однородности полей
напряжений и деформаций только в пределах неоднородности. Последнее
соотношение уже учитывает взаимодействия включений и матрицы.
Очевидно, что для изотропных компонент композита и включений
операторы концентрации и тензор g также будут изотропными тензорами.
Для реальных неоднородных сред оператор
K (r) описывает связь
между приложенным внешним
< > и внутренним
(r
ij
)
ij
напряжениями. Очевидно, что

K (r) является невырожденным. Значит,
можно с помощью тензора, обратного
K (r) , произвести расчет внешнего
напряженного состояния матричного композиционного материала при
изменении локальных напряжений.

В работе в качестве условия, приводящего к изменению
напряженного состояния неоднородного материала, рассмотрен фактор
температурного расширения элементов неоднородностей. В этом случае
локальные значения напряжений будут иметь вид
(r) = c (r) (r)T
ij
ijkl
kl
.
Здесь (r) - компоненты тензора температурного расширения,
kl
T
-
изменение температуры. Для изотропного материала можно получить
явный вид выражения для напряжений на границе матричного композита
< > = (
3 v (
i
m
v K + v K 1
( - 9g ( i
m
K - K ))) i
+
ij
i
i
m
K
i




i
v K
m
m
+ v
+ v K

T ,
m 1- 9g ( i
m
K - K )
m
ij



K


где
i
K , m
K - объемные модули упругости включений и матрицы
соответственно;
m
m
1
g = - 9
( ( + 2
))-

[1], m
- постоянная Ламе, m
-
K
сдвиговый модуль упругости
матрицы;
ij - символ
Кронекера.
На
рисунке
приведены
расчетные
зависимости напряжений на
границе
материала
от
концентрации включений (для
матрицы
температурный

коэффициент расширения -
Рис. Зависимость напряжений на
5
m 10-
=
К-1,
а
для
границе материала от концентрации
включений:
включений -
5
i = 5 10-

К-1).
1 - T = 10 ; 2 - T = 20 ; 3 - T = 40 .
На основании проведенных
исследований можно сделать
следующие выводы. Первое, при отсутствии включений поведение
материала соответствует поведению матрицы. Второе, зависимость
напряжений на границе материала, вызванных нагревом, является
нелинейной относительно концентраций элементов неоднородностей.
Третье, с увеличением температуры напряжения увеличиваются линейно.

1. Т.Д. Шермергор Теория упругости микронеоднородных сред. - М.:
Наука, 1977, 399 с.
2. В.А. Васильев, Б.С. Митин, В.Б. Яковлев и др. Высокоскоростное
затвердевание расплава. (Теория, технология, материалы). М.:
ИнтерметИнжиниринг, 1998, 395 с.