УДК 621.382
БОГДАНОВ Ю.И., БОГДАНОВА Н.А.
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДЕФЕКТНОСТИ В МНОГОУРОВНЕВОЙ КЛАСТЕРНОЙ МОДЕЛИ

ОАО "Ангстрем", г. Москва, Зеленоград,
тел. (095) 532-80-96, e-mail: bogdanov@angstrem.ru

Характерная
особенность
полупроводникового
производства
заключается в том, что дефекты, приводящие к потере годных кристаллов,
не распределены по поверхности кремниевой пластины равномерно, а
скорее образуют некоторые кластеры. Целью настоящей работы являлось
изучение корреляционных связей в распределении дефектов в рамках
многоуровневой иерархической кластерной модели [1], которая возникает
в микроэлектронике естественным образом в силу группового характера
технологии полупроводникового производства. Учет рассматриваемых
корреляций имеет важное значение для развития процедур статистического
контроля в системе качества полупроводникового производства.
Пусть контролируемый параметр есть число дефектов в заданной
области полупроводниковой пластины (число дефектов внутри
микросхемы, тестового модуля и пр.). Допустим, что контролируемая
n
область содержит
элементов, каждый из которых может оказаться
дефектным с вероятностью p (в среднем). Кластерная модель порядка
r
np
определяется r +1 параметром: средним числом дефектов
и
коэффициентами
кластеризации
для
каждого
уровня
иерархии
g i

, =
r

,...,
1
i
. Каждый уровень иерархии вносит свой аддитивный
вклад в дисперсию числа дефектов:
2 = np ( 1 + g n + g n + .... + g n
1
2
r )
g
Коэффициент кластеризации
1 описывает неоднородность
g
уровня дефектности между кластерами (блоками) на пластине,
2
характеризует неоднородность от пластины к пластине внутри партии,
g3 соответствует неоднородности от партии к партии и т.д.


Схема расчета параметров многоуровневой иерархической
структуры поясняется на рисунке.



На нулевом уровне (внутри блока на пластине) дефектность
характеризуется одним параметром - p0. При переходе на первый уровень
(изменение от блока к блоку) параметр p0 становится случайной
величиной, имеющей бета-распределение с параметрами а1 и b1 или p1 и g1
(связь между ними определяется приводимыми ниже формулами). На
втором уровне иерархии (изменение дефектности от пластины к пластине)
параметр p1 становится случайной величиной, имеющей бета-
распределение с параметрами а2 и b2, которые могут быть пересчитаны в p2
и g2. Таким образом, на втором уровне мы имеем три параметра: g1, g2, p2.
Такую цепочку можно по аналогии продолжить дальше для учета любого
числа уровней в иерархической структуре дефектности.

На
каждом
уровне
иерархии
( i =
r

,...,
1
)
выполняются
соотношения:

a
g =
1
i
p =
i



a + b
i
a + b
i
i
i
i
Из кластерного (множественного) характера возникновения
дефектов следует, что их количества в близких друг другу областях
должны коррелировать между собой сильнее, чем в более удаленных друг
от друга областях. Такие корреляционные связи можно характеризовать
посредством так называемого коэффициента внутриклассовой корреляции,
введенного первоначально Рональдом Фишером для задач генетики.

Рассмотрим
для
примера
поток
независимых
партий,
соответствующий трехуровневой модели. Коэффициент внутриклассовой
корреляции имеет наибольшее значение для областей внутри одного
кластера (блока):
n(g + g + g
1
2
3 )
=
1
.
1+ n(g + g + g
1
2
3 )
n
При увеличении степени интеграции контролируемой области

рассматриваемый коэффициент корреляции стремится к единице
(соответствующее отличие от единицы обусловлено пуассоновскими
флуктуациями числа дефектов). Если контролируемые области лежат в
различных кластерах, но внутри одной пластины, то их корреляция равна:
n(g + g
2
3 )
=
2
1+ n(g + g + g .
1
2
3 )
Несхожесть этих областей, приводящая к уменьшению корреляции
по сравнению с единицей, теперь обусловлена не только пуассоновскими
флуктуациями, но и неоднородностью дефектности между кластерами на
пластине. Наконец, корреляция областей, расположенных на разных
пластинах, но в одной партии есть:
ng3
=
3
1 + n(g + g + g .
1
2
3 )
В рамках рассматриваемого примера предполагается, что различные
партии не коррелируют между собой:
= 0
4
. Обобщение на случай,
когда иерархическая структура данных имеет не три, а произвольное число
уровней, очевидно. Корреляционные связи, даваемые многоуровневыми
иерархическими кластерными моделями, хорошо описывают результаты
численного Монте-Карло моделирования и реальные данные.

[1] Богданов Ю.И., Богданова Н.А., Дшхунян В.Л. Статистические модели
управления дефектностью и выходом годных в микроэлектронике //
Микроэлектроника. 2003. Т.32. 1. С.62-76.