УДК 621.372.011.72
ВОЛКОВ Е.А., КАПИТАНОВА А.Н.
МЕТОД АНАЛИЗА ТВЁРДОТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ ПРИ
ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ФУНКЦИЙ ХААРА
Северо-Кавказский филиал Московского технического университета Связи и информатики,
г. Ростов-на-Дону, ул. Серафимовича, 62, тел.: 623063, fax: (8632) 624245
При разработке современных твердотельных устройств, проектировании БИС
и СБИС возникают серьёзные проблемы, связанные с их автоматизированным
проектированием. Сложность нелинейных моделей и воздействия не позволяют без
применения ЭВМ рассчитать все необходимые характеристики нелинейного
устройства. В связи с развитием цифровых методов обработки аналоговой
информации разработка методов расчета на ЭВМ этого класса устройств особенно
актуальна.
Авторами был предложен [1] метод анализа нелинейных твердотельных
устройств, основанный на применении ортогональных систем функций. Данный
доклад посвящен применению этого метода для анализа нелинейных устройств при
воздействии импульсных сигналов с использованием ортогональных функций
Хаара. Функции Хаара har(j,) или (n)
H
(
) образуют полную ортонормированную
k
систему из N кусочно-постоянных функций и определяются при каждом значении
(0 ≤ < 1) двумя величинами: k- номером подразделения в системе функций Хаара
и n - номером функции в соответствующем подразделении:
k/2
n -1
n -1/2
2
при
≤<
k
k

2
2
(n)

H
( ) = k/2
n -1/2
- 2
при
≤ < n

,
k

k
k
2
2
0
иных

при

[0, )

1

где
k
0 ≤ k < log N
1

и

≤ n 2 , N- число функций в системе, 0 ≤ j < N-1.
2

Пусть мы имеем сложную нелинейную цепь. Составим её граф и выберем
фундаментальное дерево таким образом, чтобы в ветвях дерева были линейные

элементы, а все нелинейные элементы располагались в хордах. Определив для
данного графа матрицу главных контуров ВТ, установим связь напряжений на
элементах хорд и на ветвях дерева
= -B
, (1)
L
V
T
V
T
где VL - вектор напряжений на элементах хорд, VL - вектор напряжений на
элементах дерева; и связь токов в ветвях дерева с токами хорд
i

=
i
,
(2)
T
B
T
L
где iL - вектор токов элементов хорд, iT - вектор токов в ветвях дерева, * - знак
транспонирования.
В качестве внешних воздействий примем входной импульсный сигнал и ЭДС
источников питания. Используя ортогональную систему функций Хаара,
N -1
представим вектор внешних воздействий e(t) в виде e(t) = E har(j,) , где
-
j
har(j, )
j = 0
функция Хаара c номером j переменной [0, )1,
t
=
, Т - интервал ортогональности.
T
Предположим, что искомые напряжения на каждом из линейных
двухполюсников дерева графа также могут быть представлены в виде разложений
по функциям Хаара
N -1
=
(j)
U
har(j,)
T
V
,

(3)
T
j = 0
где U (j)
T - вектор искомых коэффициентов при функциях Хаара j-го порядка на
элементах дерева. Воздействие вектора напряжений на элементах дерева VT на
линейные двухполюсники дерева описывается дифференциальным уравнением
= N(p) i (t) ,
(4)
T
V
T
где N(p) - диагональная матрица N(p) = diag[N1(p), N2(p),..., Nq(p)], Nm(p) - полином
от p = d/dt для m-го двухполюсника (m=1,q), iT(t) = [i1(t), i2(t),...,iq(t)]* - вектор токов
дерева.
Подставив (3) в дифференциальное уравнение (4), после прямого
одностороннего преобразования Лапласа от обеих частей уравнения получим вектор
изображений по Лапласу токов элементов дерева. Обратное преобразование Лапласа
позволяет найти вектор токов линейных двухполюсников (дерева графа)

N -1
i (t) = (t) (j)
U
, (5)
T
j
T
j = 0
c + j
где
= 1
(t)

-1
s
N(s)
H (s)
t
e
ds .
j
2
j
i c - j
Так как N(s)-1 - операторная проводимость линейного двухполюсника, то
каждый компонент диагональной матрицы (t) есть ток, протекающий через этот
j
двухполюсник при воздействии напряжения, имеющего форму функции Хаара j-го
порядка. При формировании фундаментального дерева графа нелинейные
двухполюсники были вынесены в хорды. Подставив (3) в (1), найдем вектор
напряжений хорд
N -1
V = B (j)
U
har(j,) .

(6)
L
T
T
j = 0
Если нелинейные двухполюсники описываются вольтамперными или
вольткулоновыми характеристиками, то вектор токов хорд iL можно представить в
виде вектора, в котором соответствующие компоненты вектора (6) используются в
качестве аргументов в уравнениях двухполюсников. Тогда в соответствии с (2)
вектор токов дерева имеет вид
N -1
*
(j)
i = B i [- B U har(j,)]. (7)
T
T L
T
T
j = 0
Приравнивая (5) и (7) , разложив левую и правую части по функциям Хаара и
приравняв коэффициенты при одинаковых функциях, получим систему уравнений
цепи
*
U = B I ,которая содержит
уравнений. Решение этой системы методом
T
T
L
N q
Ньютона имеет вид:
{


-

I



U
=
-
-



,
T }
U
B
B U - B I
(p+1)
{ T}
1
L
(p)
T
T


{ T T L}(p)

U
L


(p)
где p - порядок приближения.
1.
Волков Е.А., Капитанова А.Н. Метод анализа нелинейных
твердотельных устройств в базисе ортогональных функций. -Труды шестой
международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы
твердотельной электроники и микроэлектроники" .- Таганрог, 1999г., с108.