УДК 530.1
БОГДАНОВ Ю.И., БОГДАНОВА Н.А.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
КЛАССИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА
КВАНТОВОМ КОМПЬЮТЕРЕ
ОАО "Ангстрем", г. Москва, Зеленоград, тел.: (095) 5318141, e-mail: bogdanov@angstrem.ru
На фундаментальном уровне любой компьютер является физическим
прибором и поэтому любые вычисления, которые мы выполняем, представляют
собой физический эксперимент. Квантовая механика описывает особенные
физические процессы, имеющие уникальные свойства, которые ранее не
использовались для целей вычислений. Исторически, сущность потенциальных
возможностей, которые открывает квантовая теория перед информатикой, впервые
была отмечена Фейнманом [1], который заметил, что квантовые системы
оказываются экспоненциально сложными для моделирования с помощью
классических компьютеров. Он предположил, что, возможно, отсюда следует, что
квантовые компьютеры могли бы быть экспоненциально более мощными по
сравнению с их классическими собратьями.
Эволюция квантовых систем не может быть эффективно промоделирована с
помощью классического компьютера, поскольку вычислительные пути в обычном
компьютере не могут интерферировать друг с другом, в то время как это вполне
возможно в квантовом компьютере. В то же время, и эволюция сложных
классических динамических систем не может быть эффективно промоделирована с
помощью обычного компьютера, поскольку, например, сложность вычислений по
теории возмущений, основанной на вычислении классических мультискоб
Пуассона, растет также экспоненциально по мере увеличения порядка теории
возмущений. Возможность использования квантового компьютера для анализа
классических динамических систем основана на том, что классическое кинетическое
уравнение может быть представлено в виде, формально аналогичном уравнению
Шредингера [2].

Известно, что временная эволюция классических гамильтоновых систем
определяется уравнением Лиувилля:
f

i
= L f , где
f (p , q , t )- плотность
t
распределения в фазовом пространстве, p и q - канонические импульс и

координата, L - оператор Лиувилля, определяемый формулой (для сокращения
записи опускаем знак суммирования по степеням свободы):

H
H
L = - i
+ i
,
p q
q p
где H - функция Гамильтона.
Принципиальное значение имеет эрмитов характер оператора Лиувилля. Это
обстоятельство позволяет каждой классической системе сопоставить некоторую
квантовую систему, в которой роль гамильтониана играет оператор Лиувилля.
Динамика квантовой системы определяется уравнением для матрицы плотности в
случае смешанного состояния:



i
= L , .
t


В частном случае чистого состояния динамика квантовой системы будет
определяться уравнением Шредингера:


i
= L .
t
В случае динамики квантовой системы в смешанном состоянии матрица
плотности с точностью до некоторого множителя совпадает с матрицей,
образованной матричными элементами плотности распределения. В случае
динамики чистого состояния квадрат модуля пси-функции соответствует
плотности распределения и удовлетворяет классическому кинетическому
уравнению.
Динамика систем с произвольным оператором Лиувилля может быть
промоделирована на основе универсального квантового компьютера с
использованием произвольного универсального набора логических элементов
(гейтов), оперирующих с двумя и более кубитами [3].
Квантовый компьютер может оперировать одновременно с экспоненциально
большим объемом информации, что обеспечивает принципиальную возможность

детального анализа динамической системы в многомерном фазовом пространстве. В
частности, задавая исходное распределение в малом фазовом объеме вблизи точки,
соответствующей заданным начальным условиям, можно моделировать динамику
систем с достаточно большим числом степеней свободы, то есть решать задачи, не
поддающиеся анализу на обычном компьютере.
Особенность моделирования на квантовом компьютере заключается в том, что
волновая функция не может быть непосредственно экстрагирована из системы
квантовых битов, поскольку при выводе информации, связанным с проведением
измерений над квантовой системой, волновая функция коллапсирует к одному из
возможных состояний суперпозиции. Таким образом, при заданном распределении
на входе (в начальный момент времени), на выходе имеем не распределение, а одну
из возможных реализаций случайной функции (своеобразное квантовое
моделирование Монте-Карло). Попутно заметим, что даже если бы существовала
возможность экстракции волновой функции из квантового компьютера,
воспользоваться этим было бы практически невозможно (так для экстракции
информации из системы в 100 квантовых бит потребовалось бы 100
2
бит обычной
памяти).
Представленный в работе общий подход иллюстрируется на примере анализа
динамики классических нелинейных осцилляторов в фазовом пространстве.
Представлена теория возмущений в переменных действие-угол. Рассматриваются
операторы рождения и уничтожения в фазовом пространстве. Показано, что
динамика классических осцилляторов может быть сведена к динамике
взаимодействующих бозонных полей. Обсуждается возможность релятивистского
обобщения теории на основе уравнения Дирака. Обсуждаются возможные
приложения подхода к описанию сложных гравитационных систем и заряженной
плазмы.
Описываемый подход может быть использован не только для решения задач
классической механики и статистической физики, но и для решения многих других
задач, которые не могут быть решены на обычных компьютерах. Известно, что
очень многие задачи физики, прикладной математики и математической физики
могут быть представлены в виде канонических уравнений Гамильтона, поэтому, с

помощью представленного в настоящей работе подхода, эти задачи могут быть
эффективно промоделированы на квантовом компьютере.
1. R. Feynman, International Journal of Theoretical Physics, 1982, 21, 467.
2. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М. Мир. 1964.
3. D. Deutsch, A. Barenco, A. Ekert Universality in Quantum Computation, 1995, quant-
ph / 9505018.